Question

18．关于x的方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0
（1）有两个不相等的实数，求m的取值范围
（2）m取一个适当的实数求原方程的解
（3）若x₁，x₂是方程的两根且${x_1}^2$$+{x_2}^2=6$，求m值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=-4m+4＞0，解不等式即可得出m的取值范围；
（2）结合（1）取m=0，将其代入原方程中，利用分解因式法即可求出方程的解；
（3）根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=-2（m-2）、x₁•x₂=m²-3m+3，结合${x_1}^2$$+{x_2}^2=6$，即可求出m的值，再根据△≥0可求出m的取值范围，由此即可确定m的值．

解答 解：（1）∵方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0有两个不相等的实数，
∴△=[2（m-2）]²-4（m²-3m+3）=-4m+4＞0，
解得：m＜1．
∴方程有两个不相等的实数时，m的取值范围为m＜1．
（2）取m=0，当m=0时，原方程为x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3．
（3）∵方程x²+2（m-2）x+m²-3m+3=0的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2（m-2），x₁•x₂=m²-3m+3，
∴${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=[-2（m-2）]²-2（m²-3m+3）=2m²-10m+10=6，
即m²-5m+2=0，
解之得：m₁=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，m₂=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$．
∵△=[2（m-2）]²-4（m²-3m+3）=-4m+4≥0，
∴m≤1，
∴m=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，△＞0；当方程有实数根时，△≥0”是解题的关键．