Question

3．如图（1），点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．
（1）请观察AR与AQ，它们相等吗？并证明你的猜想．
（2）如图（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C，根据等角的余角相等求出∠BQP=∠PRC，再根据对顶角相等可得∠BQP=∠AQR，从而得到∠AQR=∠PRC，然后根据等角对等边证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠C，再根据对顶角相等可得∠ABC=∠PBQ，从而得到∠C=∠PBQ，然后根据等角的余角相等求出∠Q=∠R，最后根据等角对等边证明即可．

解答 （1）解：AR=AQ．
理由如下：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PR⊥BC，
∴∠B+∠BQP=90°，
∠C+∠PRC=90°，
∴∠BQP=∠PRC，
∵∠BQP=∠AQR（对顶角相等），
∴∠AQR=∠PRC，
∴AR=AQ；

（2）AR=AQ依然成立．
理由如下：如图，∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠ABC=∠PBQ（对顶角相等），
∴∠C=∠PBQ，
∵PR⊥BC，
∴∠R+∠C=90°，
∠Q+∠PBQ=90°，
∴∠Q=∠R，
∴AR=AQ．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，等角的余角相等的性质，对顶角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．