Question

19．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒
（1）出发1秒后，△ABP的周长=（7+$\sqrt{13}$）cm，；
（2）当t=1.5s或2.7s时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer 1

分析 （1）根据速度为每秒2cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
（2）由勾股定理得AC=4cm，有两种情况，①当点P在边AC上时；②当点P在边AB上时；求出点P运动的路程，即可得出结果；．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在BC上，则PC=2t，CQ=t，根据题意得出方程，解方程即可；当P点在BC上，Q在AB上，则BQ=t-3，BQ=2t-9；根据题意得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）如图1所示：
由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4（cm），
动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP=2cm，∴AP=2cm，
∵∠C=90°，
∴PB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$（cm），
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+$\sqrt{13}$=7+$\sqrt{13}$（cm），
故答案为：（7+$\sqrt{13}$）cm，
（2）分两种情况：
①如图2所示：
当点P在边AC上时，CP=BC=3cm，3÷2=1.5（s），
此时用的时间为1.5s，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
②如图3所示：
当点P在边AB上时，CP=BC=3cm，
过C作斜边AB的高CD，则CD=$\frac{3×4}{5}$=2.4（cm），
在Rt△PCD中，PD=$\sqrt{P{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-2．{4}^{2}}$=1.8（cm），
∴BP=2PD=3.6cm，
所以P运动的路程为9-3.6=5.4（cm），
则用的时间为5.4÷2=2.7（s），△BCP为等腰三角形；
综上所述：当t=1.5s或2.7s 时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
故答案为：1.5s或2.7s；
（3）分两种情况：
①如图6所示：
当P点在AC上，Q在BC上，则PC=2t，CQ=t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴2t+t=4-2t+3-t+5，
解得：t=2；
②如图7所示：
当P点在BC上，Q在AB上，则BQ=t-3，BQ=2t-9
∴AQ=5-（t-3）=8-t，CQ=3-（2t-9）=12-2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴4+8-t+12-2t=t-3+2t-9，
解得：t=6，
综上所述：当t为2s或6s时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

点评 此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；此题涉及到了动点，有一定难度，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．