Question

5．如图，点E为正方形ABCD边AD上的一点，且AE：DE=4：5，连接BE，将正方形沿着BE折叠，使A点落在A′点处，分别连接BA′、AA′交CD于点F、G．若FG=1，则正方形ABCD的边长为$\frac{72}{25}$．

Answer 1

分析 设AE=4a，则DE=5a，AD=9a，根据四边形ABCD是正方形，所以AB=AD=9a，∠BAD=∠ADG=90°，根据折叠的性质得到AB=A′B=9a，AA′⊥BE，进而得到∠BAA′=∠BA′A，利用正方形的性质、对顶角相等，证明FA′=FG=1，再证明△ABE≌△DAG，得到DG=AE=4a，所以CG=DE=5a，在Rt△BCF中，BF=BA′+A′F=9a+1，CF=CG+FG=5a+1，BC=9a，根据勾股定理得BC²+CF²=BF²，即（9a）²+（5a+1）²=（9a+1）²，求出a的值，即可求得正方形的边长．

解答 解；设AE=4a，则DE=5a，AD=9a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=9a，∠BAD=∠ADG=90°，
∵将正方形沿着BE折叠，使A点落在A′点处，
∴AB=A′B=9a，AA′⊥BE，
∴∠BAA′=∠BA′A，
∵AB∥CD，
∴∠BAA′=∠FGA′
∵∠BA′A=∠FA′G，
∴∠FGA′=∠FA′G，
∴FA′=FG=1，
∵AA′⊥BE，
∴∠ABE+∠BAG=90°，
∵∠DAG+∠BAG=90°，
∴∠ABE=∠DAG，
在△ABE和△DAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠DAG}\\{AB=AD}\\{∠BAE=ADG=9{0}^{°}}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAG，
∴DG=AE=4a，
∴CG=DE=5a，
在Rt△BCF中，BF=BA′+A′F=9a+1，CF=CG+FG=5a+1，BC=9a，
由勾股定理得，BC²+CF²=BF²，即（9a）²+（5a+1）²=（9a+1）²，
解得：a=$\frac{8}{25}$或a=0（舍去），
∴AD=9a=$9×\frac{8}{25}=\frac{72}{25}$．
故答案为：$\frac{72}{25}$．

点评 本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解决本题的关键是由折叠的性质得到相等的边，最后利用勾股定理得到方程，求出a的值．