Question

如图，M为正方形ABCD边AB上一点，BP⊥CM于P点，PN⊥PD交BC于N．
求证：BM=BN．

Answer 1

证明：∵BP⊥MC，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
又∵∠PCB+∠PCD=90°，
∴∠PBC=∠PCD．
∵PD⊥PN，
∴∠DPN=90°．
∵∠BPC=∠BPN+∠CPN=90°，∠DPN=∠DPC+∠CPN=90°，
∴∠BPN=∠DPC．
∴△PBN∽△PCD（两角对应相等的两个三角形相似）．
∴=．
又∵BP⊥MC，
∴△PBM∽△PCB，
∴=．
∵BC=CD，
∴=．
∴BN=BM．
分析：首先得出△PBN∽△PCD，可得出=；而在Rt△BCM，通过相似三角形△BPM和△PCB，可得出=；联立两个比例关系式，即可得出所证的结论．
点评：本题考查相似三角形的判定及性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．