Question

8．已知x，y，z为实数，且2x-3y+z=3，则x²+（y-1）²+z²的最小值为$\frac{18}{7}$．

Answer 1

分析 由条件可得z=3-2x+3y，x²+（y-1）²+z²=x²+（y-1）²+（3-2x+3y）²=5[x-1.2（y+1）]²+2.8（y+$\frac{2}{7}$）²+$\frac{18}{7}$≥$\frac{18}{7}$，据此可得．

解答 解：由2x-3y+z=3得z=3-2x+3y，
x²+（y-1）²+z²
=x²+（y-1）²+（3-2x+3y）²
=5x²-12x（y+1）+9（y+1）²+（y-1）²
=5[x-1.2（y+1）]²+1.8（y+1）²+（y-1）²
=5[x-1.2（y+1）]²+2.8（y+1）²+1.6y+2.8
=5[x-1.2（y+1）]²+2.8[y²+$\frac{1.6}{2.8}$y+（$\frac{0.8}{2.8}$）²]+2.8-$\frac{0．{8}^{2}}{2.8}$
=5[x-1.2（y+1）]²+2.8（y+$\frac{2}{7}$）²+$\frac{18}{7}$≥$\frac{18}{7}$，
∴x²+（y-1）²+z²的最小值为$\frac{18}{7}$，
故答案为：$\frac{18}{7}$．

点评 本题主要考查配方法的应用，注意运用配方法和非负数的思想是解题的关键．