Question

（2012•闸北区一模）已知：如图1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．动点M和N分别在线段AB和AC边上．
（l）求证△AOB∽△COA，并求cosC的值；
（2）当AM=4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；
（3）如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN折叠，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E．设MN=x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据相似三角形的判定得出△AOB∽△COA，进而得出AO的长，即可求出cosC的值；
（2）利用（1）中所求得出AB=BC=12，再利用①∠AMN=∠B时，（如图1）△AMN∽△ABC，②当∠AMN=∠C时，（如图2）△AMN∽△ACB分别求出即可；
（3）首先得出△AMN∽△ABC，①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），②当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），分别求出即可．

解答：解：（1）∵AO⊥OC，
∴∠ABO+∠BAO=90°．
∵∠ABO+∠C=90°，
∴∠BAO=∠C．
∵∠ABO=∠COA，
∴△AOB∽△COA．
∵OB=6，BC=12，
∴6：OA=OA：18．
∴OA=6

3

．
∴AC=

OC2+OA2

=

182+(6 3 )2

=12

3

．
∴cosC=

OC

AC

=

18

12 3

=

1

2

3

．

（2）∵cosC=

OC

AC

=

18

12 3

=

1

2

3

，
∴∠C=30°．
∵tan∠ABO=

OA

OB

=

6 3

6

=

3

，
∴∠ABO=60°，
∴∠BAC=30°．
∴AB=BC=12．
①∠AMN=∠B时，（如图1）△AMN∽△ABC．
∵AM=4，
∴S△AMN：S△ABC=AM2：AB2=42：122 =1：9．
②当∠AMN=∠C时，（如图2）△AMN∽△ACB．
∵AM=4，
∴S△AMN：S△ABC=AM2：AC2=42：(12

3

)2 =1：27．

（3）可以求得：S△ABC=

1

2

AO•BC=

1

2

×6

3

×12=36

3

．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴S△AMN：S△ABC=MN2：BC2．
∴S△AMN：36

3

=x2：122．
∴S△AMN=

1

4

3

x2．
①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），
∵MN∥BC，
∴∠ANM=∠C=30°．
∴∠ANM=∠BAC．
∴AM=MN=x．
∵将△AMN沿MN折叠，
∴∠ENM=∠ANM=30°．
∴∠AFN=90°．
∴MF=

1

2

MN=

1

2

AM=

1

2

x．
∴S_△FMN：S_△AMN=MF：AM．
∴y：

1

4

3

x2=

1

2

x：x=1：2．
∴y=

1

8

3

x2(0＜x≤8)．
②当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），
∵MN∥BC
∴CN：AC=BM：AB．
∴CN：12

3

=(12-x)：12．
∴CN=12

3

-

3

x．
∵△CNG∽△CBA，
∴S△CNG：S△ABC=CN2：BC2．
∴S△CNG：36

3

=(12

3

-

3

x)2：122．
∴S△CNG=

1

4

3

(12

3

-

3

x)2．
∴S阴=S△ABC-S△AMN -S△CNG=36

3

-

1

4

3

x2 -

1

4

3

(12

3

-

3

x) 2．
即y=-

3

x2+18

3

x-72

3

(8＜x＜12)．
说明：①当EN与线段AB相交时，用计算MN边上高的方法求y时，求出高为

1

4

3

x，得1分；
当EN与线段AB不相交时，用梯形面积公式求y时，求出梯形上底为（3x-24），得1分．
②定义域错一个，不扣分；两个全错，扣1分．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据直线EN与线段AB位置关系进行分类讨论得出是解题关键．