Question

已知x₁，x₂是关于x的方程（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m）的两个实数根．
（1）求x₁，x₂的值；
（2）若p=3，设x₁，x₂是斜边为5的直角三角形的两直角边的长，求m的值；
（3）在（2）的条件下，用得到的两个全等的直角三角形可以拼成哪些凸四边形？分别画出示意图，并在图上标注出不重合的两个对应定点之间的线段长．

Answer 1

解：（1）（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m），
x²-2x-mx+2m=p²-2p-mp+2m，
∴x²-（2+m）x-p²+（2+m）p=0，
x²-（2+m）x+p（2+m-p）=0，
（x-p）（x-2-m+p）=0，
∴x₁=p，x₂=m+2-p；

（2）∵p=3，
∴x₁=3，x₂=m-1，
而x₁，x₂是斜边为5的直角三角形的两直角边的长
∴3²+（m-1）²=5²，
故x₂=m-1=4，m=5；

（3）在（2）的条件下，用得到的两个全等的直角三角形可以拼成矩形、平行四边形等，
边长分别为，，5，4.8．
分析：（1）把所给式子进行重新整理，进行因式分解，进而求解．
（2）把p=3代入原方程，注意使用勾股定理．
（3）按相等的边分别重合，分情况讨论．
点评：注意隐含条件的运用，以及多种情况的分析．