Question

已知反比例函数y=

k

x

的图象经过点A（-1，6）．
（1）求k的值；
（2）如图，过点A作直线AC与函数y=

k

x

的图象交于点B，与x轴交于C，且AB=2BC，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接OA，过y轴的正半轴一点D作直线DE∥x轴，交AC、OA与E、F，设OD=m，EF=n，求n与m之间的函数关系式．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值；
（2）作AM⊥x轴，BD⊥x轴分别于点M、D，则△BCD∽△ACM，根据相似三角形的性质即可求得BD的长，即B的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得B的坐标，利用待定系数法求得直线AB的解析式，求得C的坐标；
（3）首先求得OD的解析式，在直线OA和AB的解析式中分别求得E、F的横坐标，即可求得EF的长，从而求得函数解析式．

解答：解：（1）把A代入解析式得：6=

k

-1

，
解得：k=-6；

（2）作AM⊥x轴，BD⊥x轴分别于点M、D．
则AM∥BD，
∵A的坐标是（-1，6），
∴AM=6，OE=1，
∴△BCD∽△ACM，
∴

BD

AM

=

BC

AC

=

1

3

，
∴BD=

1

3

OA=2，
则B的纵坐标是2，把y=2代入y=-

6

x

得：x=-3，
则B的坐标是（-3，2）
设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得：

-k+b=6 -3k+b=2

，
解得：

k=2 b=8

，
则直线AB的解析式是：y=2x+8，
令y=0，解得：x=-4，
则C的坐标是（-4，0）；

（3）设直线OD的解析式是y=ax，根据题意得：-a=6，
解得：a=-6，
则直线OA的解析式是：y=-6x，
在y=-6x中，令y=m，得：x=-

m

6

，则DF=

m

6

；
在y=2x+8中，令y=m，则2x+8=m，解得：x=

m-8

2

，
则ED=

8-m

2

，
则EF=

8-m

2

-

m

6

，
即n=

8-m

2

-

m

6

，
即n=-

2

3

m+4．

点评：本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考．