Question

设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：x+2[x]+3[x]+4[x]+…+n[x]=

n2(n+1)2

2

．

Answer 1

分析：要解此方程，必须先去掉[]，根据[x]是整数，2[x]，3[x]，n[x]都是整数，所以x必是整数，即可求解．

解答：解：由于n是自然数，所以n与（n+1）
中必有一个偶数，因此

n2(n+1)2

2

是整数．因为[x]是整数，2[x]，3[x]，n[x]都是整数，所以x必是整数．
根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为
x+2x+3x+4x+…+nx=+

n2(n+1)2

2

合并同类项得
（1+2+3+…+n）x=

n2(n+1)2

2

故有

n(n+1)

2

x=

n2(n+1)2

2

所以x=n（n+1）为原方程的解．

点评：本题主要考查了取整函数的计算，去掉[]，转化为一般的式子是解决本题的关键．