Question

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.

活动一：

  如图甲所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒.

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答：          .(填“能”或“不能”)

（2）设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1.

①=_________度；

②若记小棒A_2n-1A2n的长度为a_n（n为正整数，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…） 求出此时a₂，a₃的值，并直接写出a_n（用含n的式子表示）.

活动二：

如图乙所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A₁A₂为第1根小棒，且A₁A₂₌AA₁.

数学思考：

（3）若已经摆放了3根小棒，₁ =_________，₂=________， ₃=________；（用含的式子表示）

（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.

 

Answer 1

【答案】

（１）能（２）① 22.5°②a₃= ， （３），，

（４）

【解析】解: （１）能．                              ………………1分

      （２）① 22.5°.                           ………………2分

            ②方法一

∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，

              ∴A₁A₃=，AA₃=.

              又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.

同理：A₃A₄∥A₅A₆，

∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，

∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆

              ∴a₂=A₃A₄=AA₃=，             ………………3分

                a₃=AA₃+ A₃A₅=a₂+ A₃A₅.          

∵A₃A₅=a₂，

              ∴a₃=A₅A₆=AA₅=.  ………………4分

方法二

∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，

              ∴A₁A₃=，AA₃=.

              又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.

同理：A₃A₄∥A₅A₆.

∴∠A₂A₃A₄=∠A₄A₅A₆=90°，∠A₂A₄A₃=∠A₄ A₆A₅，

              ∴△A₂A₃A₄∽△A₄A₅A₆，

              ∴，∴a₃=.    ………………4分

                                 ………………5分

（３）                           ………………6分

                                       ………………7分

                                   ………………8分

 

（４）由题意得:

       ∴.                  ………………10分

（1）本题需先根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．

（2）①本题需先根据已知条件AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，得出A₂A₃和AA₃的值，判断出A₁A₂∥A₃A₄、A₃A₄∥A₅A₆，即可求出∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A，②从而此时a₂，a₃的值和出a_n．

（３）利用三角形的外角求得（4）由题意得4<90°,590°,列不等式求得的范围.