Question

6．设n是正奇数，求证：2²ⁿ（2²ⁿ⁺¹-1）的末两位数字是28．

Answer 1

分析 由2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，…知，它们的个位数是4个数一个循环，2，4，8，6，…设n=2a+1（a为正整数），利用循环规律求得答案即可．

解答 证明：∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，…，
∴2ⁿ的个位数是2、4、8、6四个数一个循环（n为正整数），
设n=2a+1（a为正整数），
∴2²ⁿ（2²ⁿ⁺¹-1）=2^2（2a+1）（2^{2（2a+1）+1}-1）=2^4a+2（2^4a+3-1），
∵2^4a+2与2²的末尾数字相同是4，2^4a+3与2³的末尾数字相同是8，
∴2^4a+2（2^4a+3-1）的末尾数字是4×（8-1）=28，
即2²ⁿ（2²ⁿ⁺¹-1）的末两位数字是28．

点评 本题考查了尾数特征，解答该题的关键是根据已知条件，找出规律：2的乘方的个位数是每4个数一个循环，2，4，8，6，…．