Question

14．如图，已知矩形ABCD，点E是CD上的一点，AD=2$\sqrt{3}$，CD=5，将△ADE沿着AE翻折得到△AEN，若∠DAE=30°．
（1）求EN的长；
（2）过点N作NM垂直AB于M，问在直线BC边上是否存在一点P使得∠NPM=45°？若存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解直角三角形求出DE即可解决问题．
（2）存在．如图以MN为斜边作等腰直角三角形△OMN，作OH⊥BC于H，作△OMN的外接圆⊙O，只要证明⊙O与直线BC相交即可解决问题．

解答 解：（1）在Rt△ADE中，∵∠D=90°，AD=2$\sqrt{3}$，∠DAE=30°，
∴DE=AD•tan30°=2，
由翻折不变性可知EN=DE=2．

（2）存在．

理由：如图以MN为斜边作等腰直角三角形△OMN，作OH⊥BC于H，作△OMN的外接圆，
易知AN=AD=2$\sqrt{3}$，MN=$\sqrt{3}$，ON=OM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，OH=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴⊙O与BC相交设交点为P，
∴∠MPN=$\frac{1}{2}$∠MON=45°．
∴在直线BC边上存在一点P使得∠NPM=45°．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考常考题型．