已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C.与x轴交于点A(x1.0).B(x2.0)(x1＜x2).顶点M的纵坐标为-3.若x1.x2是关于方程x2+(m+1)x+m2-12=0的两个根.且x12+x22=10．(1)求A.B两点的坐标,(2)求抛物线的解析式及点C的坐标,(3)在抛物线上是否存在点P.使△PAB的面积等于四边形ACBM的面积的2倍?若存在.求出所有符合条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），顶点M的纵坐标为-3，若x₁，x₂是关于方程x²+（m+1）x+m²-12=0（其中m＜0）的两个根，且x₁²+x₂²=10．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACBM的面积的2倍？若存在，求出所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）根据韦达定理可得出A、B两点横坐标的和与积，联立x₁²+x₂²=10，可求出m的值，进而可求出A、B的坐标．
（2）根据A、B的坐标，可得出抛物线的对称轴的解析式，即可求出其顶点M的坐标，根据得出的A、B、M三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）可先求出四边形ACMB的面积（由于四边形ACMB不规则，因此其面积可用分割法进行求解）．然后根据ACMB的面求出P点的纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵若x₁，x₂是方程x²+（m+1）x+m²-12=0的两个实数根，
由题意得：x₁+x₂=-

=-（m+1），x₁x₂=

=m²-12，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m+1）²-2（m²-12）=10，
化简，得-m²+2m+15=0，
解得m=5或-3，
∵m＜0，
∴m=-3，．
∴原方程可写成：x²-2x-3=0，

∵x₁＜x₂，
∴x₁=-1，x₂=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）已知：A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=1，
因此抛物线的顶点坐标为（1，-3），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
则有：-3=a（1+1）（1-3），
解得：a=

；
∴y=

（x-3）（x+1）=

x²-

；

（3）S_{四边形ACMB}=S_△AOC+S_梯形OCMN+S_△NBM
=

OA•OC+

（OC+MN）•ON+

NB•MN
=

×1×

×（

+3）×1+

×2×3
=

．
假设存在P（x₀，y₀）使得S_△PAB=2S_{四边形ACMB}=

，
即：

AB|y₀|=

，

×4×|y₀|=

，
∴y₀=±

；
当y₀=

时，

x²-

，解得x₁=1-

，x₂=1+

；
当y₀=-

时，

x²-

，此方程无实数根．
∴存在符合条件的P点，且坐标为（1-

，

），（1+

，

）．

点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．

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