Question

如图，BD是等边△ABC的高，E是BC延长线上一点，且CE=

1

2

BC．
（1）直接写出CE与CD的数量关系；
（2）试说明△BDE是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）CD=CE，理由为：由等边三角形ABC得到∠ABC为60°，又DB垂直AC，根据“三线合一”得到∠DBC为30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半得到CD等于BC的一半，由题中已知的CE等于BC的一半，等量代换可得CD=CE；
（2）由等边三角形ABC得到∠ACB为60°，又（1）得到CD=CE，根据“等边对等角”以及外角性质得到∠E=30°，又∠DBC为30°，故两角相等，再根据“等角对等边”得到BD=DE，即三角形BDE为等腰三角形．

解答：解：（1）CD=CE；（2分）

（2）∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC∠ABC=∠ACB=60°，（4分）
∵BD⊥AC
∴∠CBD=

1

2

∠ACB=30°，CD=

1

2

AC，（5分）
∵CE=

1

2

BC
∴CD=CE，（6分）
∴∠E=∠CDE，（7分）
∵∠ACB=∠E+∠CDE
∴∠E=

1

2

∠ACB=30°，（8分）
∴∠CBD=∠E，
∴BD=ED，
∴△BDE是等腰三角形．（9分）

点评：此题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质以及等腰三角形的判定．利用等腰三角形的性质可以解决证明角、边的相等问题，尤其在证明其性质和判定中展示的转换意识，对同学们分析和解决问题能力的提高有非常重要的价值．