Question

请同学们认真阅读下面的一段文字材料，然后解答题目中提出的有关问题．
为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以将x²-1视为一个整体，然后设x²-1=y，则原方程可化为y²-5y+4=0①
解得y₁=1，y₂=4
当y=1时，x²-1=1，∴x²=2，x=±

2

当y=4时，x²-1=4，∴x²=5，x=±

5

∴原方程的解为x₁=

2

，x₂=-

2

，x₃=

5

，x₄=-

5

解方程：（1）（3x+5）²-4（3x+5）+3=0
（2）x⁴-10x²+9=0．

Answer 1

分析：（1）设y=3x+5，把原方程化为y²-4y+3，然后求解；
（2）设x²=y，把原方程化为y²-10y+9=0，然后求解．

解答：解：（1）设y=3x+5，则原方程化为y²-4y+3=0，
解得：y₁=1，y₂=3，
当y=1时，3x+5=1，∴x=-

4

3

，
当y=3时，3x+5=3，∴x=-

2

3

，
∴原方程的解为x₁=-

4

3

，x₂=-

2

3

，
（2）设x²=y，则原方程化为y²-10y+9=0，
解得：y₁=1，y₂=9，
当y=1时，设x²=1，∴x=±1，
当y=9时，设x²=9，∴x=±3，
∴原方程的解为x₁=1，x₂=-1，x₃=3，x₄=-3．

点评：本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观，难度适中．