Question

在底面积为l00cm²、高为20cm的长方体水槽内放人一个圆柱形烧杯（烧杯本身的质量、体积忽略不计）．如图所示．向烧杯中注入流量一定的水．注满烧杯后．继续注水．直至注满槽为止（烧杯在大水槽中的位置始终不改变）．水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图所示． 
（1）求烧杯的底面积； 
（2）若烧杯的高为9cm，求注水的速度及注满水槽所用的时间；
（3）写出h关于t的函数关系式及自变量的取值范围．

Answer 1

解：设烧杯的底面积为Scm²、高为h₁cm，注水速度为vcm³/s，注满水槽所用时间为t₀s．
（1）由函数图象得出，当注水18s时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是h₁cm（即烧杯高度），
Sh₁=18v，100h₁=90v，
则100h₁=90×Sh₁，
即S=20．
所以烧杯的底面积为20cm²．

（2）若h₁=9，则v==×20×9=10．
所以注水速度为10cm³/s．
由vt₀=100×20，解得t₀=200．
因此，注满水槽所用时间为200s．

（3）①h=0（0≤t＜18），
②由（2）得出：18≤t＜90时，图象过（90，9），（18，0），代入解析式y=kx+b，
，
解得：，
h=-（18≤t＜90），
③由（2）得出：90≤t＜200时，图象过（200，20），（90，9），
代入解析式y=kx+b，
，
解得：
h=（90≤t＜200）．
分析：（1）由函数图象及已知可计算出将水槽中的水注入至与圆柱体等高时所需水量为90V÷18．
（2）当注水18s时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是hm，这时水的体积为100h，据100h=90×Sh，求出S；
（3）根据（2）中数据，分别根据t的取值范围得出h与t的关系时即可．
点评：此题考查的是一次函数的应用，在此题中作图关键是联系实际的变化，确定点的坐标进而得出函数解析式即可．