Question

已知函数y=ax²+5x-2，根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数图象与x轴有两个交点；
（2）函数图象与x轴有交点；
（3）函数图象与x轴没有交点；
（4）函数值能够恒为负数吗？能够恒为正数吗？说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：令y=0，则ax²+5x-2=0，根据二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系即可判断a的取值；

解答：解（1）∵函数图象与x轴有两个交点，则b²-4ac＞0，
∴5²-4a×（-2）＞0，
解得：a＞-

25

8

；
（2）∵函数图象与x轴有交点，则b²-4ac≥0，
∴5²-4a×（-2）≥0，
解得：a≥-

25

8

；
（3）∵函数图象与x轴没有交点，则b²-4ac＜0，
∴5²-4a×（-2）＜0，
解得：a＜-

25

8

；
（4）能；
当a＞0，抛物线的开口向上，如果函数的图象与x轴没有交点，则函数值恒为正数，
当a＜0，抛物线的开口向下，如果函数的图象与x轴没有交点，则函数值恒为负数．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．
△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．