Question

10．实践操作：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）作∠BCA的角平分线，交AB于点O；
（2）以O为圆心，OB为半径作圆．
综合运用：在你所作的图中，
（3）AC与⊙O的位置关系是相切（直接写出答案）；
（4）若BC=6，AB=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的做法得出即可；
（2）利用以O为圆心，OB为半径作圆直接得出即可；
（3）根据切线的判定方法直接得出即可；
（4）利用切线长定理以及勾股定理求出⊙O的半径即可．

解答 解：实践操作：
（1）如图所示：CO即为所求；
（2）如图所示：⊙O即为所求；

综合运用：
（3）AC与⊙O的位置关系是：相切；
故答案为：相切；
（4）过点O连接AC与⊙O的切点E，
∵BC=6，AB=8，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
由题意可得出：CB⊙O的切点为B，
则CE=CB=6，
设BO=x，则EO=x，AO=6-x，
AE=10-6=4，
∴在Rt△AOE中，
AE²+EO²=AO²，
即4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴⊙O的半径为：3．

点评 此题主要考查了角平分线的做法，勾股定理和切线长定理以及切线的判定等知识，熟练利用切线的判定定理是解题关键．