【题目】如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.
(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;
(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.
【答案】
(1)
解:结论:AG2=GE2+GF2.
理由:连接CG.
∵四边形ABCD是正方形,
∴A、C关于对角线BD对称,
∵点G在BD上,
∴GA=GC,
∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,
∴四边形EGFC是矩形,
∴CF=GE,
在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,
∴AG2=GF2+GE2
(2)
解:作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.
∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,
∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,
∴∠AMN=30°,
∴AM=BM=2x,MN= x,
在Rt△ABN中,∵AB2=AN2+BN2,
∴1=x2+(2x+ x)2,
解得x= ,
∴BN= ,
∴BG=BN÷cos30°= .
【解析】(1)结论:AG2=GE2+GF2 . 只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可证明;
(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.易证AM=BM=2x,MN= x,在Rt△ABN中,根据AB2=AN2+BN2 , 可得1=x2+(2x+
x)2 , 解得x=
,推出BN=
,再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题;
【考点精析】掌握勾股定理的概念和正方形的性质是解答本题的根本,需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
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【题目】如图,某校教学楼AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的长为12米,坡角α为60°,根据有关部门的规定,∠α≤39°时,才能避免滑坡危险,学校为了消除安全隐患,决定对斜坡CD进行改造,在保持坡脚C不动的情况下,学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整数)
(参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,
≈1.73,
≈2.24)
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE= AC,连接AE交OD于点F,连接CE、OE.
(1)求证:OE=CD;
(2)若菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,求AE的长.
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【题目】下列各式中不能用平方差公式计算的是( )
A. (x-y)(-x+y)B. (-x+y)(-x-y)C. (-x-y)(x-y)D. (x+y)(-x+y)
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【题目】小敏从A地出发向B地行走,同时小聪从B地出发向A地行走,如图所示,相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y(km)与已用时间x(h)之间的关系,则小敏、小聪行走的速度分别是( )
A.3km/h和4km/h
B.3km/h和3km/h
C.4km/h和4km/h
D.4km/h和3km/h
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交线段BC,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为F,线段FD,AB的延长线相交于点G.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若CF=1,DF=,求图中阴影部分的面积.
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