Question

在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=8cm，BC=18cm，sin∠BCD=，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒．

（1）如图：若四边形ABPQ是矩形，求t的值；
（2）若题设中的“BC=18cm”改变为“BC=kcm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围；
（3）如果⊙P的半径为6cm，⊙Q的半径为4cm，在移动的过程中，试探索：t为何值时⊙P与⊙Q外离、外切、相交？

Answer 1

【答案】分析：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H，由AB=8cm，sin∠BCD=，可求得CD，CH的长，又由四边形ABPQ是矩形，可得AQ=BP，即可得方程：12-2t=3t，解此方程即可求得答案；
（2）再过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，当PG=CH时，四边形PCDQ是等腰梯形，可得BP+PG+GH+HC=BC，则可得方程：3t+6+2t+6=k，继而求得t与k的函数关系式，并可求得k的取值范围；
（3）由PQ=DC=10cm，可知当⊙P与⊙Q外切时有两种情况：四边形CDQP是等腰梯形或平行四边形．然后分别讨论求解即可求得答案．
解答：解：（1）如图1，过点D作DH⊥BC，垂足为点H，
由题意可知：AB=DH=8cm，AD=BH，
在Rt△DHC中，sin∠BCD=，
∵sin∠BCD=，
∴DC=10cm，
∴CH=（cm），…（1分）
∴AD=BH=BC-CH，
∵BC=18cm，
∴AD=BH=12cm，…（1分）
若四边形ABPQ是矩形，则AQ=BP，
∵AQ=12-2t（cm），BP=3tcm，
∴12-2t=3t，…（1分）
∴解得：t=；…（1分）

（2）如图2，由（1）得CH=6cm，
再过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，
∴四边形DHGQ是矩形，
∴QD=GH=2t
∵当PG=CH时，四边形PCDQ是等腰梯形，
∴PG=6cm，…（1分）
又∵BP+PG+GH+HC=BC，
∴3t+6+2t+6=k，…（1分）
∴t=，…（1分）
∴k的取值范围为：k＞12；…（1分）

（3）⊙P的半径为6cm，⊙Q的半径为4cm，
∴PQ=DC=10cm，
∴当⊙P与⊙Q外切时有两种情况：四边形CDQP是等腰梯形或平行四边形．
①如图3：由（2）可知：3t+6+2t+6=18，
∴t=，…（1分）
②如图4：可以知道：四边形PCDQ是平行四边形，
∴QD=PC=2tcm，
又∵BP=3tcm，BP+PC=BC，
∴3t+2t=18，
∴，…（1分）
∴当和时，⊙P与⊙Q外离；…（2分）
当和时，⊙P与⊙Q外切；
当时，⊙P与⊙Q相交．…（2分）
点评：此题考查了矩形的性质、直角梯形的性质、等腰梯形的性质以及圆与圆的位置关系等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．