Question

如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长AB到F，使BF=CE，连接EF与BC相交于点N，利用“角角边”证明△BFN和△CEN全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=CN，EN=FN，再根据正方形的性质可得∠BAN=∠DAM，然后求出∠BAN=∠EAN，再根据等腰三角形三线合一可得AE=AF，从而得证．

解答：证明：如图，延长AB到F，使BF=CE，连接EF与BC相交于点N，
在△BFN和△CEN中，

∠FBN=∠C=90° ∠BNF=∠CNE BF=CE

，
∴△BFN≌△CEN（AAS），
∴BN=CN，EN=FN，
又∵M是CD的中点，
∴∠BAN=∠DAM，
∵∠BAE=2∠DAM，
∴∠BAN=∠EAN，
∴AN既是△AEF的角平分线也是中线，
∴AE=AF，
∵AF=AB+BF，
∴AE=BC+CE．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，难点在于作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形．