Question

（2005•湘潭）如图，已知=，∠APC=60度．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等弧对等弦和等弧所对的圆周角相等，证明得到有一个角是60度的等腰三角形即是等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质构造一个30度的直角三角形，运用垂径定理和锐角三角函数计算．
解答：（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，
又，
∴∠ACB=∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形；

（2）解：连接OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵△ABC为等边三角形，点O△ABC的内心，
∴OC是∠ACB的平分线，
∴∠OCD=30°，
在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
∴OC=，
∴S_⊙O=π•OC²=．
点评：熟练掌握圆周角定理的推论和等弧对等弦，掌握等边三角形的性质和判定．