Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，不经过原点的直线与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于点A（m，2），B（n，-1），其中m＞0，n＜0．
（1）求m与n之间的数量关系；
（2）若OA=OB，求该双曲线和直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m与n之间的数量关系；
（2）根据题意和勾股定理即可得到关于m的方程，解方程求得A、B的坐标，然后根据待定系数法求得即可．

解答 解：（1）∵点A（m，2），B（n，-1）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2m=-n，
即n=-2m；
（2）∵OA=OB，点A（m，2），B（-2m，-1），
∴OA²=OB²，即m²+2²=（-2m）²+（-1）²，
解得m₁=1，m₂=-1（舍去），
∴A（1，2），B（-2，-1），
∴k=1×2=2，
∴所求双曲线的解析式为y=$\frac{2}{x}$，
设所求的直线的解析式为y=kx+b，
把A、B的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{2=k+b}\\{-1=-2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴所求的直线的解析式为y=x+1．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式解题的关键是利用勾股定理求得A、B的坐标．