Question

如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CE，过点A作AE⊥CE于E．
（1）求证：∠BAC=∠EAC；
（2）若AB=5，BC=3，求tan∠EAC的值．

Answer 1

（1）证明：
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ACB=90°；
已知EC切⊙O于C，由弦切角定理得：∠ECA=∠B；
又∵∠ECA=90°-∠ECA，∠BAC=90°-∠B，
∴∠CAD=∠BAC．

（2）解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=3；
∴tan∠BAC==，
∵∠CAE=∠BAC，
∴tan∠CAE=tan∠BAC=．
分析：（1）由于EC是⊙O的切线，根据弦切角定理可知：∠ECA=∠B，而∠ACB、∠E同为直角，那么∠EAC、∠BAC为等角的余角，由此得证．
（2）首先在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的值，即可得∠BAC的正切值，联立（1）的结论即可得解．
点评：此题主要考查的是切线的性质、弦切角定理以及解直角三角形的相关知识，难度不大．