Question

已知关于x函数y=（2-k）x²-2x+k
（1）若此函数的图象与坐标轴只有2个交点，求k的值．
（2）求证：关于x的一元二次方程（2-k）x²-2x+k=0必有一个根是1．

Answer 1

（1）解：分情况讨论：
（i）k-2=0时，得k=2．
此时y=-2x+2与坐标轴有两个交点，符合题意；
（ⅱ）k-2≠0时，得到一个二次函数，
①抛物线与x轴只有一个交点，△=b²-4ac=（-2）²-4k（2-k）=4（k-1）²，
解得k=1；
②抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点是（0，0），
把（0，0）代入函数解析式，易得k=0；
故答案为：2或0或1．

（2）证明：设关于x的一元二次方程（2-k）x²-2x+k=0的两个实数根分别为x₁，x₂，
∴，
∴，
∴关于x的一元二次方程（2-k）x²-2x+k=0必有一个根是1．
分析：（1）分情况讨论：（i）k-2=0时，求出k．（ⅱ）k-2≠0时，得到一个二次函数，①抛物线与x轴只有一个交点，△=4（k-1）²，求出k；②抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点是（0，0），把（0，0）代入函数解析式，求出k．
（2）设关于x的一元二次方程（2-k）x²-2x+k=0的两个实数根分别为x₁，x₂，根据公式求出方程的解即可得到答案．
点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程-公式法等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．