Question

已知：如图，矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，将A点折叠至MN上，落在A'点的位置，折痕为BE．
（1）求∠ABE的度数；
（2）连接EN、BN，若EN⊥BE，BN=，求矩形ABCD的周长．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC，∠BAE=∠D=90°，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴AM=AB，DN=CD，
∴AM=DN，
∴四边形AMND是矩形，
∴∠BMN=90°，
由折叠的性质得：A′B=AB=2BM，
∴∠BA′M=30°，
∴∠A′BM=60°，
∴∠ABE=∠A′BM=30°；

（2）∵∠ABE=30°，∠BAE=90°，
∴BE=2AE，∠AEB=60°，
∵EN⊥BE，
∴∠BEN=90°，
∴∠DEN=90°-∠AEB=30°，
∴EN=2DN=AB，
设AE=x，则EN=AB=x，BE=2x，
在RT△EBN中，EB²+EN²=BN²，即3x²+4x²=21，
解得：x=，
从而可得AB=3，AD=AE+ED=+=，
故矩形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+）=6+5．
分析：（1）根据矩形的性质及折叠的性质得出A'B=2BM，从而利用含30°角的直角三角形的性质，可得出答案．
（2）设AE=x，先表达出BE、EN，然后在RT△EBN中分别求出BE、AE的长度，继而得出AB、AD的长度，从而可得出矩形ABCD的周长．
点评：此题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理，解答本题的关键是求出∠BAE=30°，这是解答各问的突破口．