Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD=BF．
（1）求证：AC与⊙O相切．
（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面积．

Answer 1

证明：（1）连接OE，

∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵BD=BF，
∴∠ODE=∠F，
∴∠OED=∠F，
∴OE∥BF，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴AC与⊙O相切；

（2）解：由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
设⊙O的半径为r，则，
解得：r=4，
∴⊙O的面积π×4²=16π．
分析：（1）连接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根据切线的判定推出即可；
（2）证△AEO∽△ACB，得出关于r的方程，求出r即可．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了方程思想．