Question

如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连接AE，过A作AF⊥AE交CB的延长线于F，连接EF，取EF的中点P，连接AP、BP．
（1）若AB=2，∠DAE=30°，求四边形ABCE的面积；
（2）求证：∠BPF=45°-∠BAP．

Answer 1

（1）解：∵正方形ABCD的边AB=2，
∴AD=AB=2，
∵∠DAE=30°，
∴AE=2DE，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
即2²+DE²=（2DE）²，
解得DE=，
∴S_{四边形ABCE}=S_{正方形ABCD}-S_△ADE，
=2²-××2，
=4-；

（2）证明：如图，连接CP，
∵P是EF的中点，AF⊥AE，∠BCE=90°，
∴AP=EF，CP=EF，
∴AP=CP，
在△ABP和△CBP中，
∵，
∴△ABP≌△CBP（SSS），
∴∠ABP=∠CBP，∠BAP=∠BCP，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBP=45°，
∵CP=FP=EF，
∴∠BFP=∠BCP，
∴∠BFP=∠BAP，
在△BFP中，∠BPF=∠CBP-∠BFP=45°-∠BAP．
分析：（1）根据正方形的四条边都相等求出AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE=2DE，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列式进行计算即可求出DE，然后根据
S_{四边形ABCE}=S_{正方形ABCD}-S_△ADE，然后列式计算即可得解；
（2）连接CP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AP=EF，CP=EF，然后求出AP=CP，然后利用“边边边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABP=∠CBP，∠BAP=∠BCP，再求出∠ABP=45°，根据等腰直角三角形的性质求出∠APF=90°，然后三角形的内角和等于180°列式整理即可得证．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，综合题，但难度不大，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．