Question

如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

Answer 1

分析：（1）已知A点的坐标，就可以求出OA的长，根据OA=OC，就可以得到C点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数解析式．
（2）点P的位置应分P在AB和BC上，两种情况进行讨论．当P在AB上时，△PMB的底边PB可以用时间t表示出来，高是MH的长，因而面积就可以表示出来．
（3）本题可以分两种情况进行讨论，当P点在AB边上运动时：设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，证明△AQP∽△CQO，根据相似三角形的对应边的比相等，以及勾股定理可以求出AQ，QC的长，在直角△OHB中，根据勾股定理，可以得到tan∠OQC．
当P点在BC边上运动时，可证△BHM∽△PBM和△PQC∽△OQA，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出OK，KQ就可以求出．

解答：解：（1）过点A作AE⊥x轴垂足为E，如图（1）
∵A（-3，4），
∴AE=4 OE=3，
∴OA=

AE2+OE2

=5，
∵四边形ABCO为菱形，
∴OC=CB=BA=0A=5，
∴C（5，0）（1分）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵

5k+b=0 -3k+b=4

，
∴

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直线AC的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

．（1分）

（2）由（1）得M点坐标为（0，

5

2

），
∴OM=

5

2

，
如图（1），当P点在AB边上运动时
由题意得OH=4，
∴HM=OH-OM=4-

5

2

=

3

2

，
∴s=

1

2

BP•MH=

1

2

（5-2t）•

3

2

，
∴s=-

3

2

t+

15

4

（0≤t＜

5

2

），2分
当P点在BC边上运动时，记为P₁，
∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM，
∴△OMC≌△BMC，
∴OM=BM=

5

2

，∠MOC=∠MBC=90°，
∴S=

1

2

P₁B•BM=

1

2

（2t-5）

5

2

，
∴S=

5

2

t-

25

4

（

5

2

＜t≤5），2分

（3）设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，
∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，
∴∠MPB=∠MBH．
当P点在AB边上运动时，如图（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，
∵MH⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH-PH=1，
∴t=

1

2

，（1分）
∵AB∥OC，
∴∠PAQ=∠OCQ，
∵∠AQP=∠CQO，
∴△AQP∽△CQO，
∴

AQ

CQ

=

AP

CO

=

1

5

，
在Rt△AEC中，AC=

AE2+EC2

=

42+82

=4

5

，
∴AQ=

2 5

3

，QC=

10 5

3

，
在Rt△OHB中，OB=

HB2+HO2

=

22+42

=2

5

，
∵AC⊥OB，OK=KB，AK=CK，
∴OK=

5

，AK=KC=2

5

，
∴QK=AK-AQ=

4 5

3

，
∴tan∠OQC=

OK

QK

=

3

4

，（1分）
当P点在BC边上运动时，如图（3），
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴

BM

BP

=

HM

HB

，即

5 2

BP

=

3 2

2

，
∴BP=

10

3

，
∴t=

25

6

，（1分）
∴PC=BC-BP=5-

10

3

=

5

3

．
由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA，
∴

CQ

AQ

=

CP

AO

，
∴

CQ

AQ

=

1

3

，
CQ=

1

4

AC=

5

，
∴QK=KC-CQ=

5

，
∵OK=

5

，
∴tan∠OQK=

OK

KQ

=1．（1分）
综上所述，当t=

1

2

时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为

3

4

．
当t=

25

6

时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1．

点评：本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，求三角函数值的问题可以转化为求直角三角形的边的比的问题．