Question

如下4个图中，不同的矩形ABCD，若把D点沿AE对折，使D点与BC上的F点重合；
（1）图①中，若DE：EC=2：1，求证：△ABF∽△AFE∽△FCE；并计算BF：FC．
（2）图②中若DE：EC=3：1，计算BF：FC=

1：2

；图③中若DE：EC=4：1，计算BF：FC=

1：3

．
（3）图④中若DE：EC=n：1，猜想BF：FC=

1：（n-1）

；并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由矩形ABCD，DE：EC=2：1，把D点沿AE对折，使D点与BC上的F点重合；易求得∠BAF=∠FAE=∠CFE=30°，∠B=∠C=∠AFE=90°，即可证得：△ABF∽△AFE∽△FCE；首先设CE=x，则EF=DE=2x，CD=DE+CE=3x，由勾股定理即可求得FC的长，又由相似三角形的对应边成比例，可求得BF的长，继而求得答案；
（2）首先设CE=x，由DE：EC=3：1，可得EF=DE=3x，CD=DE+CE=4x，由勾股定理即可求得FC的长，又由相似三角形的对应边成比例，可求得BF的长，继而求得答案；
首先设CE=x，由DE：EC=4：1，可得EF=DE=4x，CD=DE+CE=5x，由勾股定理即可求得FC的长，又由相似三角形的对应边成比例，可求得BF的长，继而求得答案；
（3）首先设CE=x，由DE：EC=n：1，可得EF=DE=nx，CD=DE+CE=（n+1）x，由勾股定理即可求得FC的长，又由相似三角形的对应边成比例，可求得BF的长，继而求得答案．

解答：（1）证明：如图①，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质可得：FE=DE，∠AFE=∠D=90°，∠DAE=∠FAE，
∵DE：EC=2：1，
∴EF=2EC，
∴∠EFC=30°，
∴∠EFB=60°，
∴∠BAF=30°，
∴∠FAE=∠EAD=30°，
∴∠BAF=∠FAE=∠CFE=30°，
∵∠B=∠C=∠AFE=90°，
∴△ABF∽△AFE∽△FCE；
设CE=x，则EF=DE=2x，CD=DE+CE=3x，
∴FC=

EF2-CE2

=

3

x，
∵AB=CD=3x，△ABF∽△FCE，
∴

AB

FC

=

BF

EC

，
∴

3x

3 x

=

BF

x

，
解得：BF=

3

x，
∴BF：FC=1：1；

（2）解：如图②，设CE=x，
∵DE：EC=3：1，
∴EF=DE=3x，CD=DE+CE=4x，
∴FC=

EF2-CE2

=2

2

x，
∵AB=CD=4x，△ABF∽△FCE，
∴

AB

FC

=

BF

EC

，
∴

4x

2 2 x

=

BF

x

，
解得：BF=

2

x，
∴BF：FC=1：2；
如图③，设CE=x，
∵DE：EC=4：1，
∴EF=DE=4x，CD=DE+CE=5x，
∴FC=

EF2-CE2

=

15

x，
∵AB=CD=5x，△ABF∽△FCE，
∴

AB

FC

=

BF

EC

，
∴

5x

15 x

=

BF

x

，
解得：BF=

15

3

x，
∴BF：FC=1：3；
故答案为：1：2，1：3；

（3）证明：如图④，设CE=x，
∵DE：EC=n：1，
∴EF=DE=nx，CD=DE+CE=（n+1）x，
∴FC=

EF2-CE2

=

n2-1

x，
∵AB=CD=（n+1）x，△ABF∽△FCE，
∴

AB

FC

=

BF

EC

，
∴

(n+1)x

n2-1 x

=

BF

x

，
解得：BF=

n2-1

n-1

x，
∴BF：FC=1：（n-1）；
故答案为：1：（n-1）．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．