Question

如图，在?ABCD的形外分别作等边△ABF和等边△BCE，连接DF、FE、ED．
（1）求证：△AFD≌△CDE；
（2）△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质得出AD=BC=EC，AF=AB=DC，∠BAD=∠DCB，求出∠FAD=∠DCE，根据SAS证△AFD≌△DCE即可；
（2）求出∠DCE=∠EBF，FB=AB=DC，BE=EC，根据SAS证△FBE≌△DCE，推出EF=FD=ED，根据等边三角形的判定推出即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，△FAB和△EBC都是等边三角形，
∴AD=BC=EC，AF=AB=DC，∠BAD=∠DCB，∠FAB=∠BCE=60°，
∴∠BAD+60°=∠DCB+60°，
∴∠FAD=∠DCE，
在△AFD和△CDE中
∵

AF=CD ∠FAD=∠DCE AD=CE

，
∴△AFD≌△CDE（SAS）；

（2）△DEF是等边三角形，
证明：设∠DCB=x，则∠ABC=180°-x，∠DCE=60°+x，∠EBF=360°-120°-（180°-x）=60°+x
∴∠DCE=∠EBF，FB=AB=DC，BE=EC，
在△FBE和△DCE中
∵

BF=DC ∠DCE=∠FBE BE=CE

，
∴△FBE≌△DCE（SAS），
∴EF=FD=ED，
即：△DEF是等边三角形．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定的综合运用．