Question

如图所示，E，F在BD上，且AB=CD，BF=DE，AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：AC与BD互相平分．

Answer 1

解：（1）在△ABE和△CDF中，
∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，
即BE=DF，
又∵AB=CD，AE=CF，
∴△ABE≌△CDF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠B=∠D，
又∵∠AOB=∠COD，
∠BAO=180°-∠B-∠AOB，∠DCO=180-∠D-∠COD，
∴∠BAO=∠DCO，
∵AB=CD，
∴△ABO≌△CDO，
∴AO=CO，BO=DO，
故AC与BD互相平分．
分析：（1）由于BF=DE，那么BF-EF=DE-EF，即BE=DF，再结合AB=CD，AE=CF，易证△ABE≌△CDF；
（2）由（1）知△ABE≌△CDF，那么∠B=∠D，结合∠AOB=∠COD以及三角形内角和定理可证∠BAO=∠DCO，又AB=CD，利用ASA可证△ABO≌△CDO，那么AO=CO，BO=DO，那么可证AC与BD互相平分．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明BE=DF，以及证明∠BAO=∠DCO．