Question

如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是

1. A.
   8
2. B.
   12
3. C.
   
4. D.
   15

Answer 1

A
分析：根据正方形的性质以及中点的定义得到AD=AB=2，AE=BF=，利用勾股定理计算出DE=AF=5，易证得△ADE∽△BAF，得到∠ADE=∠BAF，则有∠ADM+∠DAM=90°，利用面积相等得到AM•DE=AE•AD，可到AM=2，再根据勾股定理计算DM=4，由AD∥CB，根据平行线分线段成比例定理得到AN：NF=AD：BF=2：1，于是AN=AF=，然后利用S_△DMN=S_△AND-S_△AMD进行计算即可．
解答：∵正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，
∴AD=AB=2，AE=BF=，
∴DE=AF==5，
∴△ADE∽△BAF，
∴∠ADE=∠BAF，
而∠BAF+∠DAM=90°，
∴∠ADM+∠DAM=90°，
∴AM•DE=AE•AD，即AM×5=×2，
∴AM=2，
∴DM==4，
∵AD∥CB，
∴AN：NF=AD：BF=2：1，
∴AN=AF=，
∴S_△DMN=S_△AND-S_△AMD=×4×-×4×2=8．
故选A．
点评：本题考查了平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，截得的线段对应成比例．也考查了正方形的性质以及勾股定理．