Question

18．如图，二次函数y=ax²+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=-$\frac{3}{2}$，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，将△BPF沿边PF翻折，得到△B′PF，使△B′PF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的$\frac{1}{4}$，若点B′在OD上方，求线段PD的长度；
（3）在（2）的条件下，过B′作B′H⊥PF于H，点Q在OD下方的抛物线上，连接AQ与B′H交于点M，点G在线段AM上，使∠HPN+∠DAQ=135°，延长PG交AD于N．若AN+B′M=$\frac{5}{2}$，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=ax²+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=-$\frac{3}{2}$，列出方程组即可解决问题．
（2）如图1中，首先求出直线AC与抛物线的交点B坐标，再证明DP′=PP′，推出四边形BFB′P是菱形，在RT△POB中求出OP即可解决问题．
（3）如图2中，过A作AI⊥HP，可得四边形AB′HI是正方形，过A作AL∥PN，连接ML，在Rt△MHL中，由ML²=MH²+HL²列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}}\\{a+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=x²+3x．

（2）如图1中，∵A（1，4）C（0，2），

设直线AC解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{b=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直线AC 解析式为y=2x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y={x}^{2}+3x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$
∴B（-2，-2），∵D（-4，4）
∴BD=$2\sqrt{10}$，
∵DF=FB，
∴S_△DFP=S_△BFP，
∴S_△PFP′=$\frac{1}{4}$S_△PBD，
∴S_△DP′F=S_△PP′F
∴PP′=DP′，
∴PB∥P′F，
∴∠B′FP=∠PFB=∠FPB，
∴PB=BF=FB′，
∴四边形BFB′P是平行四边形，
∵BF=BP
∴四边形BFB?P是菱形，
∴PB=$\sqrt{10}$，
∵P在y=-x上，OB=2$\sqrt{2}$，
在RT△OPB中，OP=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴P（-1，1）
∴PD=$3\sqrt{2}$

（3）如图2中，由（2）得F（-3，1），P（-1，1）B’（-2，4）．
过A作AI⊥HP，可得四边形AB′HI是正方形，过A作AL∥PN，连接ML．

由∠HPN+∠DAQ=135°得∠MGP=45°
∴∠MAL=45°，设B′M=m，则AN=$\frac{5}{2}$-m，
∴PL=$\frac{5}{2}$-m，
∴LI=m-$\frac{1}{2}$，
∴ML=B′M+LI=2m-$\frac{1}{2}$，
在Rt△MHL中，∵ML²=MH²+HL²，
（2m-$\frac{1}{2}$）²=（$\frac{7}{2}$-m）²+（3-m）²
解得m=$\frac{3}{2}$
∴M（-2，$\frac{5}{2}$）
∴直线AM解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}}\\{y={x}^{2}+3x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{7}{2}}\\{y=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴Q（$-\frac{7}{2}$，$\frac{7}{4}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、菱形的判定和性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数交点坐标，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．