Question

（2013•大连）将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF．
（1）如图1，若∠ABC=α=60°，BF=AF．
①求证：DA∥BC；②猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，若∠ABC＜α，BF=mAF（m为常数），求

DF

AF

的值（用含m、α的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）由旋转性质证明△ABD为等边三角形，则∠DAB=∠ABC=60°，所以DA∥BC；
（2）①如答图1所示，作辅助线（在DF上截取DG=AF，连接BG），构造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF；进而证明△BGF为等边三角形，则GF=BF=AF；从而DF=2AF；
②与①类似，作辅助线，构造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF，由此可知△BGF为顶角为α的等腰三角形，解直角三角形求出GF的长度，从而得到DF长度，问题得解．

解答：（1）证明：①由旋转性质可知，∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB
∴△ABD为等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠ABC，
∴DA∥BC．
②猜想：DF=2AF．
证明：如答图1所示，在DF上截取DG=AF，连接BG．

由旋转性质可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF．
∵在△DBG与△ABF中，

DB=AB ∠BDG=∠BAF DG=AF

∴△DBG≌△ABF（SAS），
∴BG=BF，∠DBG=∠ABF．
∵∠DBG+∠GBE=α=60°，
∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°，
又∵BG=BF，
∴△BGF为等边三角形，
∴GF=BF，又BF=AF，
∴GF=AF．
∴DF=DG+GF=AF+AF=2AF．

（2）解：如答图2所示，在DF上截取DG=AF，连接BG．

由（1），同理可证明△DBG≌△ABF，BG=BF，∠GBF=α．
过点B作BN⊥GF于点N，
∵BG=BF，∴点N为GF中点，∠FBN=

α

2

．
在Rt△BFN中，NF=BF•sin∠FBN=BFsin

α

2

=mAFsin

α

2

．
∴GF=2NF=2mAFsin

α

2

∴DF=DG+GF=AF+2mAFsin

α

2

，
∴

DF

AF

=1+2msin

α

2

．

点评：本题是几何综合题，考查了旋转性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点．难点在于第（2）问，解题关键是构造全等三角形得到等腰三角形，同学们往往不能由此突破而陷入迷途．