Question

如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC．
（1）若∠1=30°，DB⊥AD，求∠C的度数；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CD=AD．

Answer 1

分析：（1）由垂直可得∠ADB=90°，所以可以求出∠DAB的度数，利用等腰梯形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠C的度数；
（2）若BD平分∠ABC则可得∠1=∠DBC，又因为DC∥AB，所以可证明∠CDB=∠1，进而得到∠CDB=∠DBC，即CD=BC，问题得证．

解答：（1）解：∵DB⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠1=30°，
∴∠DAB=90°-∠1=90°-30°=60°，
∴∠ABC=∠DAB=60°，
∴∠C=180°-∠ABC=120°，

（2）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBC．
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠1．
∴∠CDB=∠DBC，
∴CD=BC，
∵AD=BC，
∴AD=CD．

点评：本题考查了等腰梯形的性质、三角形的内角和定理以及角平分线的性质和等腰三角形的判定以及性质，题目的综合性不小．