Question

19．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM-∠NOC的度数．

Answer 1

分析 （1）设ON的反向延长线为OD，由旋转的性质可知∠M=30°，∠MNO=60°，从而可分别求得∠BON=∠AOD=∠COD=30°；
（2）分别用∠AON表示出∠AOM和∠NOC即可．

解答 解：
（1）直线ON平分∠AOC．
理由如下：
如图，设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB=$\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×{120°}={60°}$，
又∠MOD=∠MON=90°，
∴∠COD=90°-∠BOC=30°，
∵∠AOC=180°-∠BOC=60°，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC；
（2）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．

点评 本题主要考查旋转的性质及直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键，即旋转前后对应的线段和角分别相等．