Question

3．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B 在射线OM上运动，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小．
（2）如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，则∠ABO=30°；如图3，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，则∠ABO=60°；
（3）如图4，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，则∠EAF=90°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的$\frac{3}{2}$倍，求∠ABO的度数．

Answer 1

分析 （1）由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=$\frac{1}{2}$∠PAB，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABM，于是得到结论；
（2）由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB，根据三角形的内角和即可得到结论；根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到结论；
（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠EOQ=$\frac{1}{2}$∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的$\frac{3}{2}$倍分两种情况进行分类讨论．

解答 解：（1）∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠PAB，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；
（2）∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案为：30°，60°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠EOQ=$\frac{1}{2}$∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=$\frac{1}{2}$（∠BOQ-∠BAO）=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．  
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的$\frac{3}{2}$倍，故有：
①∠EAF=$\frac{3}{2}$∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠F=$\frac{3}{2}$∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
∴∠ABO为60°或72°．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．