Question

在数学的学习中，我们要学会总结，不断地归纳，思考和运用，这样才能提高我们解决问题的能力，下面这个问题大家一定似曾相识：
（1）比较大小：
①2+1

 

2

2×1

；  ②3+

1

3

 

2

3× 1 3

③8+8

 

2

8×8

通过上面三个计算，我们可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想a+b

 

2

ab

；
（2）学习了《二次根式》后我们可以对此猜想进行代数证明，请欣赏：
对于任意非负实数a，b，∵(

a

-

b

)2≥0，∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有当a=b时，等号成立．
（3）学习《圆》后，我们可以对这个结论进行几何验证：
如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的任意一点，（与A、B不重合）过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．
根据图形证明：a+b≥2

ab

，并指出等号成立时的条件．

（4）蓦然回首，我们发现在上学期的《梯形的中位线》一节遇到的一个问题，此时运用这个结论解决是那样的简单：
如图有一个等腰梯形工件（厚度不计），其面积为1800cm²，现在要用细包装带如图那样包扎（四点为四边中点），则至少需要包装带的长度为

 

cm．
（注意：包扎时背面也有带子，打结处长度忽略不计）

Answer 1

分析：（1）直接计算算式，比较大小即可；
（3）连接OC，证明△ABC为直角三角形，CD⊥AB，利用相似三角形的性质可证CD=

ab

，而OC=

1

2

AB=

1

2

（a+b），由图可知OC≥CD，代入证明结论；
（4）设EG=a，FH=b，根据梯形面积公式可知ab=1800，再由a+b≥2

ab

，可求a+b的最小值，得出包装带的长度．

解答：解：（1）＞，＞，=，≥；

（3）连接OC，∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，

∴a+b=AD+BD=AB=2OC，
又∵CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∵∠CAB+∠ABC=90°，∠DCB+∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠DCB，
∴△CDB∽△ADC，
∴AD•BD=CD²，
即ab=CD²，∴CD=

ab

，
而OC≥CD，
∴a+b≥2

ab

，
当D与O重合即CD为半径时等号成立．

（4）设EG=a，FH=b，
根据梯形面积公式可知ab=1800，
∵a+b≥2

ab

=2

1800

=60

2

，
∴a+b的最小值为60

2

，
∴包装带需要2（a+b）=120

2

cm．
故答案为：120

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与实际应用．关键是由易到难，由特殊到一般，逐步求证，并会运用所得不等式解决实际问题．