Question

如果方程（x-a）（x-b）=1的两根为α，β．那么方程（x-α）（x-β）=-1的两根的平方和为

1. A.
   a²+b
2. B.
   a+b²
3. C.
   a²+b²
4. D.
   a²+b+b²

Answer 1

C
分析：由于方程（x-a）（x-b）=1的两根为α、β，根据根与系数的关系可得α+β、αβ的值，再设x₁、x₂是方程（x-α）（x-β）=-1的两个根，再利用根与系数的关系可得x₁+x₂=α+β=a+b，x₁x₂=αβ+1=ab，最后结合完全平方公式可求x₁²+x₂²的值．
解答：∵（x-a）（x-b）=1，
∴x²-（a+b）x+ab-1=0，
∴α+β=a+b，αβ=ab-1，
方程（x-α）（x-β）=-1整理可得x²-（α+β）x+αβ+1=0，
若x₁、x₂是方程（x-α）（x-β）=-1的两个根，那么
x₁+x₂=α+β=a+b，x₁x₂=αβ+1=ab，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（a+b）²-2ab=a²+b²，
故选C．
点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是先求出α+β和αβ的值，再进行代换．