Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2$\sqrt{3}$．
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）²-a（a-1），再求T的值．

Answer 1

分析 （1）根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段AC的垂直平分线DE；
（2）根据Rt△ADE中，∠A=30°，AE=$\sqrt{3}$，即可求得a的值，最后化简T=（a+1）²-a（a-1），再求T的值．

解答 解：（1）如图所示，DE即为所求；


（2）由题可得，AE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，∠A=30°，
∴Rt△ADE中，DE=$\frac{1}{2}$AD，
设DE=x，则AD=2x，
∴Rt△ADE中，x²+（$\sqrt{3}$）²=（2x）²，
解得x=1，
∴△ADE的周长a=1+2+$\sqrt{3}$=3+$\sqrt{3}$，
∵T=（a+1）²-a（a-1）=3a+1，
∴当a=3+$\sqrt{3}$时，T=3（3+$\sqrt{3}$）+1=10+3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．