Question

如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.

（Ⅰ）求证：∠=∠；

（Ⅱ）若点的坐标为（0，1），且∠=60º，试求所有满足条件的直线的函数解析式.

 

Answer 1

解：（Ⅰ）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.

设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.

设直线的函数解析式为,

并设的坐标分别为 ,.

由  得，

于是 ，即 .于是，

  …………5分

又因为，所以.

    因为∠∠，所以△∽△.

    故∠=∠.     …………………………………………………………10分

（Ⅱ）解法一   设，，不妨设≥>0，

由（Ⅰ）可知

∠=∠，=，=，  

所以 =，=.

因为∥，所以△∽△.

于是，即．所以．

由（Ⅰ）中，即，所以

于是，可求得 .

将代入，得到点的坐标（，）.     …………………15分

再将点的坐标代入，求得 .

所以直线的函数解析式为.

根据对称性知，

所求直线的函数解析式为，或. ………………20分

解法二  设直线的函数解析式为,其中.

由（Ⅰ）可知，∠=∠，所以.

故 .

将代入上式，平方并整理得

，即.

所以 或.

又由（Ⅰ），得，.

若代入上式得  从而 .

同理，若 可得 从而 .

所以，直线的函数解析式为

，或. ………………………………………20分