Question

如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC
上，DF＝2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
【小题1】DM=___▲____,  AN=___▲____（用含x的代数式表示）
【小题2】说明△FMN ∽ △QWP；
【小题3】试问为何值时，△PQW为直角三角形？

【小题4】问当为____▲_____时，线段MN最短？

Answer 1

【小题1】         ( 2分)
【小题2】∵P、Q、W分别为△FMN三边的中点
∴PQ∥FN，PW∥MN
∴∠MNF＝∠PQM＝∠QPW
同理：∠NFM＝∠PQW
∴△FMN ∽ △QWP    (2分)
【小题3】由⑴得△FMN ∽ △QWP，所以△FMN为直角三角形时，△QWP也为直角三角形．如图，过点N作NECD于E，根据题意，得DM＝BM＝，∴AM＝4－，AN＝DE＝6－
∵DF＝2，∴EF＝4－
∴MF²＝2²＋x²＝x²＋4，MN²＝（4－x）²＋（6－x）²＝2x²－20x＋52，
NF²＝（4－x）²＋4²＝x²－8x＋32,
① 如果∠MNF＝90°，
有2x²－20x＋52＋x²－8x＋32＝x²＋4，
解得x₁＝4，x₂＝10（舍去）；
②如果∠NMF＝90°，
有2x²－20x＋52＋x²＋4＝x²－8x＋32，
化简，得：x²－6x＋12＝0，△＝－12＜0， 方程无实数根；
③如果∠MFN＝90°，
有2x²－20x＋52＝x²＋4＋x²－8x＋32，
解得x＝．
∴当为4或时，△PQW为直角三角形   (3分)
【小题4】当＝5时，线段MN最短．(2分)解析:
（1）利用图示求得；
（2）由平行线的性质可得∠QPW=∠MNF，∠PQW=NFM，故有△FMN∽△QWP；
（3）当△FMN是直角三角形时，△QWP也为直角三角形，当MF⊥FN时，证得△DFM∽△GFN，有DF：FG=DM：GN，得到4-x=2x，求得x此时的值，当MG⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，此时x=AD=4；
（4）当点F、M、N在同一直线上时，MN最短，设经过的时间为x，AM的长度为（4-x），AN的长度为（6-x），再由△MAN∽△MBF即可求出答案．