Question

12．如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线AC、BD交于O点，E为AD延长线上一点，DE=2，直线OE分别交AB、CD于G、F．
（1）求证：DF=BG；
（2）求DF的长；
（3）若∠ABC=60°，求tan∠AEO．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得出OD=OB，再由平行线的性质得出∠OBG=∠ODF，故可得出△BGO≌△DFO，进而可得出结论；
（2）过点O作OK∥AD，由三角形中位线定理得出OK的长，再判定出△DEF∽△KOF，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）过点O作OH⊥AD于点H，根据菱形的性质得出∠ADO=30°，∠OAH=60°，设OH=x，则DH=$\sqrt{3}$x，AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，再由AD=4可得出x的值，进而得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠OBG=∠ODF．
在△BGO与△DFO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OBG=∠ODF}\\{OB=OD}\\{∠BOG=∠DOF}\end{array}\right.$，
∴△BGO≌△DFO（ASA），
∴DF=BG；

（2）解：过点O作OK∥AD，
∵点O是对角线AC、BD交点，
∴点O是线段AC的中点，
∴OK是△ACD的中线，
∴OK=$\frac{1}{2}$AD=2，DK=$\frac{1}{2}$CD=2．
∵AD∥OK，
∴△DEF∽△KOF，
∴$\frac{OK}{DE}$=$\frac{KF}{DF}$，即$\frac{2}{2}$=$\frac{2-DF}{DF}$，解得DF=1．

（3）解：过点O作OH⊥AD于点H，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADO=30°，∠OAH=60°，
设OH=x，则DH=$\sqrt{3}$x，AH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∵AD=4，
∴$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=4，解得x=$\sqrt{3}$，
∴HD=3，OH=$\sqrt{3}$，
∴HE=HD+DE=3+2=5，
∴tan∠AEO=$\frac{OH}{HE}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质及锐角三角函数的定义等知识，涉及面较广，难度较大．