Question

如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF，对应边EG=BC，B、E、C、G在一直线上。
（1）若BE=a，求DH的长；
（2）当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值。

Answer 1

解：（1）连接FH，则FH∥BE且FH=BE， 在Rt△DFH中，DF=3a-a=2a，FH=a，∠DFH=90°， 所以，DH=； （2）设BE=x，△DHE的面积为y， 依题意y= S△CDE+S梯形CDHG-S△EGH =×3a×（3a-x）+×（3a+x）×x-×3a×x =x2-ax+a2 y=x2-ax+a2=（x-a）2+a2 当x=a，即BE=BC，E是BC的中点时，y取最小值， △DHE的面积y的最小值为a2。