Question

已知直线y=-x+7与反比例函数y=（k＞0，x＞0）交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，若S_△BOC=，且∠AOD=∠BOC．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求证：OA=OB；
（3）y=（k＞0，x＞0）的图象上是否存在点P，使S_△AOP=S_△BOP，若存在，求P点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）在y=-x+7中，令y=0，解得x=7．则OC=7．
作BN⊥x轴于N．
∵S_△BOC=OC•BN=BN=，
∴BN=1．即B的纵坐标是1．
把y=1代入y=-x+7，解得：x=6．
故B的坐标是：（6，1）．
把（6，1）代入y=得：k=6．
则反比例函数的解析式是：y=．

（2）作OM⊥CD．
在y=-x+7中，令x=0，解得：y=7，则OD=7．
∴OC=OD
∵OM⊥CD
∴∠DOM=∠COM
∵∠AOD=∠BOC．
∴∠AOM=∠BOM
∴OA=OB；

（3）∵OA=OB，S_△AOP=S_△BOP，
∴P到OA，OB的距离相等．
∴P一定在直线OM上．直线OM的解析式是：y=x．
把y=x代入y=．
解得：x=y=．
则P的坐标是：（，）．
分析：（1）首先求得OC的长，根据S_△BOC=，即求得B的纵坐标，代入直线的解析式，即可求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）求出OD的长，则△OCD是等腰三角形，过O作CD的垂线，利用三线合一定理即可求证；
（3）OA=OB，S_△AOP=S_△BOP，则P到OA，OB的距离相等．P一定在直线OM上．直线OM的解析式是：y=x，代入反比例函数解析式即可求解．
点评：本题是反比例函数与等腰三角形的综合题，关键是理解等腰三角形的性质，理解（3）中P满足的条件．