Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，tan∠ADC=2．
（1）求DC的长；
（2）E为梯形内一点，F为梯形外一点，若BF=DE，∠FBC=∠CDE，试判断△ECF的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BE⊥EC，BE：EC=4：3，求DE的长．

Answer 1

解：（1）过A点作AG⊥DC，垂足为G，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC=90°，
∴四边形ABCG为矩形，
∴CG=AB=5，AG=BC=10，
∵tan∠ADG==2，
∴DG=5，
∴DC=DG+CG=10；

（2）∵DE=BF，∠FBC=∠CDE，BC=DC，
∴△DEC≌△BFC，
∴EC=CF，∠ECD=∠FCB，
∵∠BCE+∠ECD=90°，∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形；

（3）过F点作FH⊥BE，
∵BE⊥EC，CF⊥CE，CE=CF，
∴四边形ECFH是正方形，
∵BE：EC=4：3，∠BEC=90°，
∴BC²=BE²+EC²，
∴EC=6，BE=8，
∴BH=BE-EH=2，
∴DE=BF=．
分析：（1）要求DC的长，过A点作AG⊥DC，垂足为G，只需求DG+CG，在直角三角形AGD中，可求DG=5，所以DC=10；
（2）由已知可证△DEC≌△BFC，得EC=CF，∠ECD=∠FCB，由∠BCE+∠ECD=90°，得∠ECF=90°，即△ECF是等腰直角三角形；
（3）在（2）的条件下，过F点作FH⊥BE，要求DE的长，只需求BF的长，在直角三角形BGF中，FG=CE=EG，由勾股定理可求．
点评：本题考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质以及三角函数和勾股定理的综合运算．