Question

D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F．
（1）当∠MDN绕点D转动时，求证：DE=DF．
（2）若AB=2，求四边形DECF的面积．

Answer 1

解：（1）连CD，如图，
∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，
∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，
∴∠BCD=45°，∠CDA=90°，
∵DM⊥DN，
∴∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠ADF，
在△DCE和△ADF中，
，
∴△DCE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF；
（2）∵△DCE≌△ADF，
∴S_△DCE=S_△ADF，
∴四边形DECF的面积=S_△ACD，
而AB=2，
∴CD=DA=1，
∴四边形DECF的面积=S_△ACD=CD•DA=．
分析：（1）连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，则∠BCD=45°，∠CDA=90°，由DM⊥DN得∠EDF=90°，根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根据全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到结论；
（2）由△DCE≌△ADF，则S_△DCE=S_△ADF，于是四边形DECF的面积=S_△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得S_△ACD，从而得到四边形DECF的面积．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．