Question

1．如图，△ABC是一块铁皮余料．已知底边BC=160cm，高AD=120cm．在铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．
（1）设HG=y cm，HE=x cm，试确定用x表示y的函数表达式．
（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S 最大？

Answer 1

分析 （1）先表示出AM，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列式整理即可；
（2）根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题求解即可．

解答 解：（1）∵矩形EFGH，AD是高，
∴MD=HE=x，HG∥BC，
∴AM=AD-MD=120-x，△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$，
即$\frac{120-x}{120}$=$\frac{y}{160}$，
∴y=-$\frac{4}{3}$x+160；

（2）矩形EFGH的面积S=xy=x（-$\frac{4}{3}$x+160），
=-$\frac{4}{3}$x²+160x，
=-$\frac{4}{3}$（x²-120x+3600）+4800，
=-$\frac{4}{3}$（x-60）²+4800，
所以，当x=60时，S取最大值4800．

点评 本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，二次函数的最值问题，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，（2）将二次函数解析式整理出顶点式形式求解更简便．